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Do Ré Mi Fa Sol La Sinusoïde 🎶 (partie 1)

La musique est une importante part de notre quotidien. Elle est avec nous lorsque nous conduisons, nous courons, nous sortons, nous relaxons à la maison. Elle nous calme, nous relaxe, nous apaise, nous rend heureux, affecte notre humeur et nos émotions. Avec ses différentes sonorités grace à différents instruments, la musique est une combinaison complexe d’un élément simple, la note. Qu’est-ce qu’une note si ce n’est un son, une onde mécanique spécifique, une sinusoïde avec des caractéristiques spécifiques ? Comment un élément mathématique si simple produit une si belle harmonie ? Découvrons-le !

Ondes mécaniques

Une onde mécanique est une onde se propageant à travers un milieu, solide ou fluide [1]. En conséquence, elle ne peut pas traverser le vide de l’espace (contrairement aux ondes électromagnétiques [2]). Le son, les tremblements de terre ou les vagues sont des ondes mécaniques. Seulement le premier cité nous intéresse ici mais voyons tout de même quels types d’ondes mécaniques existent.

Les vagues à la surface de l’eau sont des ondes mécaniques

Chez les ondes transverses, les oscillations sont perpendiculaires à la direction de la vague. La membrane d’un tambour crée une onde transverse lorsqu’il est frappé. Les ondes S d’un séisme en sont un autre exemple. La lumière a le même comportement, mais encore une fois, ce n’est pas une onde mécanique[2].

Contrairement aux ondes transverses, les ondes longitudinales se déplacent dans la même direction que l’onde. Les ondes P d’un séisme et, plus important, le son sont des ondes longitudinales.

Le dernier type sont les ondes de surface qui, comme leur nom l’indique, se propagent à l’interface de deux médias, telles les vagues à la surface de l’eau.

Quand le milieu est limité dans l’espace et dans la longueur qu’il peut atteindre, on appelle cela une onde stationnaire. Un exemple musical est une corde vibrante telle que celle d’un piano ou d’une guitare.

Une note est une sinusoïde

Comme je l’ai dis précédemment, le son est une onde longitudinale. Habituellement, un son est une combinaison de multiples composantes à une dimension qui peuvent être représentées par une sinusoïde, un signal périodique.

Ce signal a deux caractéristiques : son intensité (mesuré en décibel dB) et sa fréquence (mesurée en hertz Hz). Une période est un motif répété dans un signal (aussi appelée une harmonique en acoustique) et la fréquence est le nombre de fois que ce motif se répète en une seconde. Une note est un signal avec une fréquence spécifique.

Une sinusoïde avec une intensité a et une période T

Nous avons besoin d’une référence pour établir l’ensemble des notes. Cette référence est le la universel, le la de la 3ème octave, avec une fréquence de 440 Hz. Nous avons désormais une note de base à partir de laquelle nous pouvons déterminer toutes les autres. Pour ça, nous utilisons l’équation suivante :

Un peu d’explication sur cette equation. fn est la fréquence de la note que nous voulons calculer (en hertz Hz), f0 est la fréquence de notre note de référence (en hertz Hz), n est le nombre de demi-tons de différence que nous voulons de notre note de référence et peut être positif ou négatif selon que l’on souhaite une note plus haute ou plus basse. n est divisible par 12 pour représenter les 12 demi-tons d’un octave. Cela signifie que si n est un multiple de 12, le résultat est la même note mais à un octave différent et sa fréquence diffère d’un facteur 2. Après quelques calculs, nous avons toutes les notes dont nous avons besoin. [3] [4]

Maintenant que nous connaissons notre solfège mais nous faisons de la musique à partir d’instruments. Nous allons mettre de côté les mathématiques et revenir à la physique.

Théorie de la corde

Première partie : les instruments à corde. Quand une corde vibre, cela crée une onde mécanique qui se diffuse le long de la corde. Quand elle atteint une extrémité, elle continue de se diffuser le long de la corde dans la direction opposée. C’est l’onde stationnaire mentionnée précédemment. Nous avons tout de même besoin de contrôler l’onde pour créer une note.

Cette onde stationnaire a un comportement spécifique décrit par une autre équation (grace au théorème de Buckingham [5]) :

Viens l’explication. Tout d’abord, 𝜈, la fréquence (en Hz), le paramètre qui nous intéresse. Les autres paramètres sont la constante 𝜅, la longueur de la corde L (en m), la tension mécanique de la corde (en kg.m.s-2) et la masse linéique (masse par unité de longueur) de la corde 𝜇 (en kg.m-1).

Cela signifie que pour changer la fréquence, nous pouvons changer la longueur, la tension ou la composition (matériau ou épaisseur) de la corde. Un piano joue uniquement sur la longueur (ce qui requiert plus de cordes) tandis que la guitare joue sur tous ces paramètres.

Pour le piano, chaque touche est liée à un marteau qui va frapper la corde correspondante. Une corde pour chaque touche. Plus longue est la corde frappée, plus basse est la fréquence, produisant une note plus grave. À l’opposé, une corde plus courte implique une fréquence plus élevée qui implique une note plus aigue.

Cordes de piano

Pour la guitare (et les instruments à cordes frottées), toutes les cordes ont la même longueur mais des épaisseurs et des matériaux différents (nylon, acier). La tension est changeable grace aux chevilles sur la tête de l’instrument. Une guitare ayant normalement six cordes, cela voudrait dire six notes mais un guitariste peut artificiellement changer la longueur des cordes en les pressant sur les différentes frets.

Cordes de guitare

Il y a toujours la question des autres instruments : les instruments à vent, les percussions. Comment produisent-ils des sons et de la musique ? Je vais d’abord vous laisser digérer les équations et informations de cet article et nous répondrons à ces questions le mois prochain dans la partie 2. En attendant, essayez d’entendre les sinusoïdes quand vous jouez ou entendez un instruments à cordes.

Références

[1] Giancoli, D. C. (2009) Physics for scientists & engineers with modern physics (4th ed.). Upper Saddle River, N.J.: Pearson Prentice Hall. ISBN-13 9780133892741

[2] All You Need Is Science, De quelle couleur sont les ondes radio ?

[3] Adolphe Danhauser, Théorie de la musique : Édition revue et corrigée par Henri Rabaud, Paris, Éditions Henry Lemoine, 1929, 128 p. (ISMN 979-0-2309-2226-5)

[4] Claude Abromont et Eugène de Montalembert, Guide de la théorie de la musique, Librairie Arthème Fayard et Éditions Henry Lemoine, coll. « Les indispensables de la musique », 2001, 608 p.  (ISBN 978-2-213-60977-5)

[5] Edgar Buckingham, « On physically similar systems. Illustrations of the use of dimensional equations », Physical Reviewvol. 4, no 4,‎ 1914, p. 345-376. https://doi.org/10.1103/PhysRev.4.345

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